Занятие № 1. Логические элементы и схемы

Практические задания

Задание № 1. Комбинационная схема

Составьте комбинационную схему по логическому выражению.

Пример

Составим схему по следующему выражению:

A+B―+C―=Y

Первый шаг: определить количество входов и выходов в схеме. Для этого посчитаем количество разных параметров слева и справа от знака равенства. В данном примере у схемы будет входа и выход.

Изобразите входы и выходы и обозначьте их:

Добавляйте к схеме логические элементы исходя из порядка выполнения действий в логическом выражении. В нашем примере первым выполниться B―, затем C―. Отрицание реализуется логическим элементом :

Следующее действие A+B―. Дизъюнкция реализуется логическим элементом :

Последнее действие также логическое сложение. Добавим последний элемент :

Схема готова. Проверьте работу интерактивной схемы.

✍️ Сделайте самостоятельно

Составьте схему по логическому выражению вашего варианта.

A―+B―+C=Y

AC+AB=Y

A―+B―+C=Y

AB―+C=Y

Задание № 2. Таблица истинности

Составьте таблицу истинности для предложенного логического выражения.

Пример

Составим таблицу истинности для следующего выражения: A+B―+C―=Y

В первую очередь нужно определиться, сколько столбцов и строк будет в таблице. Количество столбцов определяется количеством переменных. В примере выражение содержит различные переменные (входные и выходные данные). Значит именно столько столбцов будет в таблице истинности.

A B C Y

Количество строк определяется количеством входных переменных n. Количество строк будет равно 2n. Значит в нашем примере таблица истинности будет содержать строк. Именно столько строк нужно, чтобы записать все возможные комбинации нулей и единиц для входных значений.

Заполним таблицу для входных переменных. Первая строка будет содержать только нули для входных значений. Чтобы получить все возможные комбинации нулей и единиц, будем прибавлять 1 к каждой предыдущей комбинации. Например, после комбинации 011 после прибавления 1 получится комбинация .

A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1

Теперь последовательно подставляем различные комбинации входных переменных A, B и C в логическое выражение и записываем результат в столбец Y. Не забывайте про порядок выполнения логических операций. В первую очередь выполняется , затем а в последнюю очередь .

Например для строки таблицы 010 значение выражения будет равно .

В итоге, получим следующую таблицу:

A B C Y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
✍️ Сделайте самостоятельно

Составьте таблицу истинности для предложенного логического выражения:

AC+AB

A―+B―+C

AB―+C

A―+B―+C

Задание № 3. Тождества булевой алгебры

Упростите логическое выражение.

Используйте следующие тождества:

  1. A+B=B+A

  2. AB=BA

  3. A+(B+C)=(A+B)+C

  4. A(BC)=(AB)C

  5. A(B+C)=AB+AC

  6. (A+B)(C+D)==AC+AD+BC+DB

  7. 1―=0

  8. 0―=1

  9. A⋅0=0

  10. A⋅1=A

  11. A+0=A

  12. A+1=1

  13. A+A=A

  14. AA=A

  15. A――=A

  16. A+A―=1

  17. AA―=0

  18. A+B―=A― B―

  19. AB―=A―+B―

  20. A+A―B=A+B

  21. A―+AB=A―+B

✍️ Сделайте самостоятельно

AB―+C(A+B)

(AB―+C)+B―B

С+(AB―+AC)

A(A―+C)+AB

Задание № 4. Дизъюнктивная нормальная функция

По указанной таблице истинности составьте комбинационную схему устройства.

Пример

Спроектируем комбинационное устройство по следующей таблице истинности:

A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1

Для решения задачи необходимо:

  1. Представить таблицу в форме дизъюнктивной нормальной функции.
  2. Упростить полученное логическое выражение с помощью тождеств булевой алгебры.
  3. Использовать логические элементы для проектирования комбинационного устройства по упрощённому выражению.

Первый шаг - составить дизъюнктивную нормальную функцию. Для этого нужно использовать только те строки таблицы, в которых результат функции равен 1. Например, в третьей строке, чтобы результат функции Y был равен 1 нужно чтобы A было не 0 и B было 1 и C было не 0. На языке булевой алгебры это высказывание запишется следующим образом: A―BC―=1 Аналогично 1 можно получить, если A―BC (см. строку 4). Аналогичные выражения с конъюнкцией (логическим умножением) можно записать для пятой, седьмой и восьмой строк.

Для того, чтобы Y=1 достаточно, чтобы хотя бы одно такое выражение было равно 1. Значит все эти выражения можно объединить с помощью операции дизъюнкции (логического сложения): Y=A―BC―+A―BC+AB―C―+ABC―+ABC

Второй шаг - упростить полученную дизъюнктивную нормальную функцию с помощью тождеств булевой алгебры: Y=A―BC―+A―BC+AB―C―+ABC―+ABC==A―B(C―+C)+AB―C―+AB(C―+C)==A―B+AB―C―+AB==B(A―+A)+AB―C―==B+B―AC―==B+AC―