Занятие № 1. Логические элементы и схемы
Практические задания
Задание № 1. Комбинационная схема
Составьте комбинационную схему по логическому выражению.
Пример
Составим схему по следующему выражению:
\[ A+\overline B + \overline C = Y \]
Первый шаг: определить количество входов и выходов в схеме. Для этого посчитаем количество разных параметров слева и справа от знака равенства. В данном примере у схемы будет x ? 3 (A, B, C) входа и x ? 1 (Y) выход.
Изобразите входы и выходы и обозначьте их:
Добавляйте к схеме логические элементы исходя из порядка выполнения действий в логическом выражении. В нашем примере первым выполниться \(\overline B\), затем \(\overline C\). Отрицание реализуется логическим элементом x НЕ:
Следующее действие \(A+\overline B\). Дизъюнкция реализуется логическим элементом x ИЛИ:
Последнее действие также логическое сложение. Добавим последний элемент x ИЛИ:
Схема готова. Проверьте работу интерактивной схемы.
Составьте схему по логическому выражению вашего варианта.
\[\overline A + \overline B + C=Y\]
\[AC+AB=Y\]
\[\overline A + \overline B + C=Y\]
\[A\overline B+C=Y\]
Задание № 2. Таблица истинности
Составьте таблицу истинности для предложенного логического выражения.
Пример
Составим таблицу истинности для следующего выражения: \[ A+\overline B + \overline C = Y \]
В первую очередь нужно определиться, сколько столбцов и строк будет в таблице. Количество столбцов определяется количеством переменных. В примере выражение содержит x ? различные переменные (входные и выходные данные). Значит именно столько столбцов будет в таблице истинности.
| A | B | C | Y |
|---|---|---|---|
Количество строк определяется количеством входных переменных \(n\). Количество строк будет равно \(2^n\). Значит в нашем примере таблица истинности будет содержать x ? строк. Именно столько строк нужно, чтобы записать все возможные комбинации нулей и единиц для входных значений.
Заполним таблицу для входных переменных. Первая строка будет содержать только нули для входных значений. Чтобы получить все возможные комбинации нулей и единиц, будем прибавлять 1 к каждой предыдущей комбинации. Например, после комбинации 011 после прибавления 1 получится комбинация
x
.
| A | B | C | Y |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 |
Теперь последовательно подставляем различные комбинации входных переменных \(A\), \(B\) и \(C\) в логическое выражение и записываем результат в столбец \(Y\). Не забывайте про порядок выполнения логических операций. В первую очередь выполняется x отрицание, затем x конъюнкция (логическое умножение) а в последнюю очередь x дизъюнкция (логическое сложение).
Например для строки таблицы 010 значение выражения будет равно
x
?
.
В итоге, получим следующую таблицу:
| A | B | C | Y |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Составьте таблицу истинности для предложенного логического выражения:
\[AC+AB\]
\[\overline A + \overline B + C\]
\[A\overline B+C\]
\[\overline A + \overline B + C\]
Задание № 3. Тождества булевой алгебры
Упростите логическое выражение.
Используйте следующие тождества:
\(A+B=B+A\)
\(AB=BA\)
\(A+(B+C)=(A+B)+C\)
\(A(BC)=(AB)C\)
\(A(B+C)=AB+AC\)
\((A+B)(C+D)=\\=AC+AD+BC+DB\)
\(\overline 1=0\)
\(\overline 0=1\)
\(A\cdot0=0\)
\(A\cdot1=A\)
\(A+0=A\)
\(A+1=1\)
\(A+A=A\)
\(AA=A\)
\(\overline{\overline A}=A\)
\(A+\overline A=1\)
\(A\overline A=0\)
\(\overline{A+B}=\overline A\ \overline B\)
\(\overline{AB}=\overline A+\overline B\)
\(A+\overline A B=A+B\)
\(\overline A+AB=\overline A+B\)
\[\overline{AB}+C(A+B)\]
\[(A\overline B+C)+\overline B B\]
\[С+(\overline{AB}+AC)\]
\[A(\overline A+C)+AB\]
Задание № 4. Дизъюнктивная нормальная функция
По указанной таблице истинности составьте комбинационную схему устройства.
Пример
Спроектируем комбинационное устройство по следующей таблице истинности:
| A | B | C | Y |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Для решения задачи необходимо:
- Представить таблицу в форме дизъюнктивной нормальной функции.
- Упростить полученное логическое выражение с помощью тождеств булевой алгебры.
- Использовать логические элементы для проектирования комбинационного устройства по упрощённому выражению.
Первый шаг - составить дизъюнктивную нормальную функцию. Для этого нужно использовать только те строки таблицы, в которых результат функции равен 1. Например, в третьей строке, чтобы результат функции \(Y\) был равен 1 нужно чтобы \(A\) было не 0 и \(B\) было 1 и \(C\) было не 0. На языке булевой алгебры это высказывание запишется следующим образом: \[
\overline{A}B\overline{C}=1
\] Аналогично 1 можно получить, если \(\overline{A}BC\) (см. строку 4). Аналогичные выражения с конъюнкцией (логическим умножением) можно записать для пятой, седьмой и восьмой строк.
Для того, чтобы \(Y=1\) достаточно, чтобы хотя бы одно такое выражение было равно 1. Значит все эти выражения можно объединить с помощью операции дизъюнкции (логического сложения): \[
Y=\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}BC+A\overline{B}\overline{C}+AB\overline{C}+ABC
\]
Второй шаг - упростить полученную дизъюнктивную нормальную функцию с помощью тождеств булевой алгебры: \[ \displaylines{Y=\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}BC+A\overline{B}\overline{C}+AB\overline{C}+ABC=\\ =\overline{A}B(\overline{C}+C)+A\overline{B}\overline{C}+AB(\overline{C}+C)=\\ =\overline{A}B+A\overline{B}\overline{C}+AB=\\ =B(\overline{A}+A)+A\overline{B}\overline{C}=\\ =B+\overline{B}A\overline{C}=\\ =B+A\overline{C}} \]
После упрощения выражения видим, что для реализации комбинационного устройства понадобиться только три логических элемента:
Проверьте правильность работы схемы с помощью интерактивной схемы, расположенной выше. Выставите на входы значения, при которых на выходе должна появиться 1.
По указанной таблице истинности составьте комбинационную схему устройства.
| A | B | C | Y |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| A | B | C | Y |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| A | B | C | Y |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| A | B | C | Y |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |