Логические основы проектирования цифровых устройств.

Хорошевич Павел Александрович

План

Области применения цифровой электроники.
Отличие цифрового сигнала от аналогового. Последовательная и параллельная передача сигнала.
Основы булевой алгебры.
Базовые логические элементы.
Построение комбинационных устройств.

Постановка задачи

Робот пылесос периодически должен становиться на зарядку. Зарядка должна начинаться, когда:

аккумулятор робота НЕ заряжен
ИЛИ полы подметены
И помыты.

Спроектируйте устройство, которое будет определять, нужно ли роботу двигаться в сторону зарядного устройства или продолжать уборку. Информация поступает с датчиков в виде сигнала да/нет.

Аккумулятор робота НЕ заряжен ИЛИ полы подметены И помыты.

Формализация задачи

Обозначим буквами входы и выходы модуля. Входные и выходные состояния обозначим да (истина) - 1, нет (ложь) - 0.

Цифровой и аналоговый сигналы

Аналоговый сигнал

Цифровой сигнал

В цифровой электронике в любой точке схемы может быть только один из уровней напряжения - или высокий или низкий.

Высокое состояние часто называют истиной или 1, низкое состояние - ложью или 0.

Напряжение, представляющее 0 или 1 зависит от выбранных компонентов. Как правило, +5 В считается высоким уровнем, 0 В - низким.

1: диапазон от +2.4 до +5 В
0 : диапазон от +0.8 до 0 В.

Булева алгебра

Соотношения между логическими высказываниями можно записать с помощью операций булевой алгебры. Операции выполняются только над двумя значениями - ИСТИНА и ЛОЖЬ.

Операции булевой алгебры:

Отрицание (НЕ);
Дизъюнкция (ИЛИ);
Конъюнкция (И)

Отрицание

Результатом выполнения операции будет инверсия значения. Операция отрицания - унарная.

Обозначение операции

\[\neg A\]
\[\overline A\]

\[\overline A = Y\]

\[\overline A\]	\[Y\]
0	1
1	0

Дизъюнкция

Результат дизъюнкции ИСТИНА, если хотя бы один из операндов ИСТИНА. Дизъюнкцию называют логическим сложением.

Обозначение операции

\[A\vee B\]
\[A+B\]

\[A + B = Y\]

\[A\]	\[B\]	\[Y\]
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Конъюнкция

Результат конъюнкции ИСТИНА, только если оба операнда ИСТИНА. Конъюнкцию называют логическим умножением.

Обозначение операции

\[A\wedge B\]
\[AB\]

\[AB = Y\]

\[A\]	\[B\]	\[Y\]
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Приоритет операций

Логические операции выполняются в следующем порядке:

Выражения в скобках
Отрицание
Логическое умножение (конъюнкция)
Логическое сложение (дизъюнкция)

Формализация задачи

Логическое выражение описывающее работу модуля:

\[ \overline A+BC \]

Таблица истинности

При проектировании комплексных устройств в первую очередь составляется таблица истинности из которой следует какие логические значения должны быть на выходе схемы исходя из различных комбинаций входных значений.

\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(Y\)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Дизъюнктивная нормальная функция

\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(Y\)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Запишем значение \(Y\) через сумму логических умножений тех строк таблицы в которых значение \(Y=1\):

\[ Y= \overline A\ \overline B\ \overline C + \overline A\ \overline B\ C + \overline A\ B\ \overline C + \overline A\ B\ C + A\ B\ C \]

Упростим полученное выражение с помощью тождеств булевой алгебры.

Тождества булевой алгебры

\(A+B=B+A\)
\(AB=BA\)
\(A+(B+C)=(A+B)+C\)
\(A(BC)=(AB)C\)
\(A(B+C)=AB+AC\)
\((A+B)(C+D)=\\=AC+AD+BC+DB\)
\(\overline 1=0\)
\(\overline 0=1\)
\(A\cdot0=0\)
\(A\cdot1=A\)
\(A+0=A\)

\(A+1=1\)
\(A+A=A\)
\(AA=A\)
\(\overline{\overline A}=A\)
\(A+\overline A=1\)
\(A\overline A=0\)
\(\overline{A+B}=\overline A\ \overline B\)
\(\overline{AB}=\overline A+\overline B\)
\(A+\overline A B=A+B\)
\(\overline A+AB=\overline A+B\)

Тождества булевой алгебры

\[ Y=\overline A\ \overline B\ \overline C +\overline A\ \overline B\ C +\overline A\ B\ \overline C +\overline A\ B\ C +A\ B\ C \]

\[ Y=\overline A\ \overline B(\overline C+C)+\overline A\ B(\overline C+C)+ABC \]

\[ Y=\overline A\ \overline B + \overline A\ B + ABC \]

\[ Y=\overline A(\overline B+B)+ABC \]

\[ Y=\overline A + A(BC)=\overline A+BC \]

Логические элементы

Комбинационные устройства

Комбинационная схема состоит из набора логических элементов. Состояние выходов схемы определяется только состоянием входов в тот же момент времени.

Шифратор

Шифратор - это комбинационное устройство предназначенное для преобразования десятичного кода в двоичный.

Дешифратор

Дешифратор преобразует двоичное число в другой необходимый код.

Дешифратор

7-сегментный дисплей с дешифратором:

Полусумматор и сумматор

Для сложение двух двоичных чисел применяется сумматор.

Последовательностные устройства

В последовательностных схемах состояние выходов зависит от текущих значений на входах в настоящий и предыдущие моменты времени. Работы схемы зависит от её предыдущих состояний.

Основой для построения последовательностных устройств являются триггеры. Триггер позволяет хранить двоичное число.

D-триггер

Значение с входа D сохраняется в динамическом D-триггере после появления положительного перехода на входе синхронизации С:

Регистр

Регистр - это последовательностное устройство предназначенные для хранения двоичного числа.

Для хранения одного бита в регистре используется триггер. Для хранения n-разрядного двоичного числа необходимо n триггеров. Схемы регистров в данной лабораторной работе составлены с помощью D-триггеров.

Выделяют 4 режима записи и чтения:

Последовательный ввод - параллельный вывод (SIPO - Serial-in to Parallel-out);
Последовательный ввод - последовательный вывод (SISO - Serial-in to Serial-out);
Параллельный ввод - последовательный вывод (PISO - Parallel-in to Serial-out);
Параллельный ввод - параллельный вывод (PIPO - Parallel-in to Parallel-out).

Регистр с последовательной записью

Счётчик